上帝的數字-魔術方塊

上帝的數字－魔術方塊

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 魔術方塊， 廣東話稱做「扭力骰」，英文為「Rubik's Cube」，它是在1974年由匈牙利的建築系教授魯比克(ErnöRubik)所發明，一開始他只是突發奇想地問學生，如何設計一個3×3×3的方塊，讓人可以轉動，又不會散開來？結果真的有學生做出來了，它的中心結構如右頁下方插圖，並且一直沿用至今。最初這個方塊是用木頭做的，經過上色之後，才發現要還原它是一件非常困難的事，因此就有人提議將上色的方塊做成益智玩具出售。

魔術方塊內部結構

魯比克也在1975年為他的魔術方塊申請了專利，1979年風行於歐洲，當時風靡的程度，幾乎是人手一顆。電影「當幸福來敲門」(PursuitofHappyness)就是改編於這個時期發生的一個真實故事，威爾史密斯飾演的主角賈納是一個窮途潦倒的低收入戶，為了應徵某證券公司的實習職缺，投了上百封的履歷都石沉大海；於是在某次下班時，假藉順路之由厚著臉皮跟公司經理上了計程車，一路上賈納口沫橫飛地為自己爭取工作機會，經理卻一個字也沒聽進去，因為他正專心轉著手上的魔術方塊；後來賈納幫經理完成了手上的方塊，也因此贏得了到公司實習的機會。電影中的計程車司機邊開車，手上也邊拿著一個魔術方塊在轉，可見當時魔術方塊流行的程度。

台灣的魔術方塊從1990年代開始流行，從一顆要價數百元，逐漸普及到只要幾十塊就可以在夜市或路邊攤買到。筆者所認識的兩位對台灣魔術方塊界貢獻良多的愛好者，一位是1990年左右台大魔術社第二屆社長趙承宗，他後來「退隱江湖」了；另一位是2004年左右成立交大魔術社的鄭維駿，現在正在美國康乃爾大學讀電子工程研究所。看起來，似乎喜歡玩魔術的人，都會喜歡玩魔術方塊。

背公式解魔方

魔術方塊發展了近30年了，最短破解時間的世界紀錄每年都在翻新，除了玩家不斷的練習、心得交流之外，靠的就是公式的不斷改進。事實上，坊間流傳的解法很多，不過最常見的就是依一層一層的順序來完成，可參考本網站的簡易解法教學。第一層相信讀者只要把玩個幾十分鐘應該就會了；第二層大概就需要有人指導，才能夠了解其中的邏輯；第三層則很少有人能夠獨立想出解法，原因是要把第三層轉好，又要維持前兩層不被打亂，非常困難，這也是魔術方塊的精神所在。所幸前人已經整理出不少第三層的公式，只要能夠看得懂公式的運作，照著公式就能轉好。

公式可以分成兩種類型，一種適合初學者，另一種適合追求極速的玩家(speedcuber)。適用於初學者的公式，講求的就是盡量好記，能夠花最少的時間學會如何完成魔術方塊，避免因為背得頭昏腦脹而半途而廢。本網站教你如何用四個公式即能完成魔術方塊，坊間也有宣稱只要三個、兩個公式，甚至不用公式。

少一、兩個公式的原因，只是把公式的記憶轉嫁到公式的判斷上，必須花更多的時間去記「發生什麼情況時，要做什麼事情」，所要記憶的東西並沒有比較少。因此如何設計一個容易記憶、讓空間概念不好的人也能學會轉魔術方塊、隔幾個月沒玩還是能夠記得、真正適合初學者的公式，其實也是值得探討的課題。

至於要能夠在半分鐘、甚至10秒內就完成方塊的公式，所講求的目標完全不同。追求極速的玩家，會發自內心有一股熱忱，為了多快一、兩秒，再多公式也背得起來。此類公式的訴求就是省時間，不管是「判斷時間」或是「轉的時間」都要盡量的減少，這種我們稱做「速解魔方」(speedcubing)。速解魔方公式的始祖是美國賓漢頓大學教授弗雷德里奇(JessicaFridrich)，她設計了70幾個公式，宣稱17秒能完成方塊，現今速解魔方玩家的公式大多改編自她的公式。

很多人都難以置信，為什麼有人可以不到10秒就轉好一個方塊？其實，除了背多一點公式外，就只有「練習再練習」。這就好比學倉頡或無蝦米這種字根式的輸入法，一開始要慢慢背各種字根，然後學習看到一個中文字，就知道怎麼拆碼，最後就是一天打上個一、兩個小時，練到後來，看到字，都是非常直覺地打出來，完全不經思考。

魔術方塊要轉得快，一開始也是慢慢背針對各種情況的公式，然後每天練個一、兩個小時，練到能以直覺反應來轉的程度，眼睛一瞥，手就自動迅速地轉了起來；所以常常看到有人可以轉非常快，但請他慢慢轉，他反而轉不出來。

上帝的數字

其實魔術方塊不只好玩，它在數學上用到了極多代數中的李群(Lie Algebra)、群論(GroupTheory)，還有一些離散數學(DiscreteMathematics)及機率。其實有機會上這些課的時候，都可以想想它在魔術方塊上的應用，純理論的課會因此變得生動些。

魔術方塊發展至今已有不少研究了，其中最大的課題就是「任意的三階魔術方塊，可以保證最少幾步完成？」1982年佛雷(Alexander H.Frey, Jr.)與辛馬斯特(David Singmaster)合著的《魔術方塊手冊》(Handbook ofCubik)裡，稱這個答案為「上帝的數字」(God'snumber)，並證明這個數字介於17~52之間；也就是說，任意亂的情況，都可以在52步內完成，而且有一些情況保證至少要17步才能完成，書中並猜測上帝的數字為20。

這裡就要談到怎麼樣才算「一步」，常見的有兩種算法：一種是只要把一個面轉90度就算一步，稱做「quarterturnmetric」(QTM)；另一種是轉動一個面算一步，不管轉幾度，稱做「face turnmetric」(FTM)。QTM中若把一個面轉180度，就算兩步，而在FTM中只算了一步，因此FTM的數字會比QTM的少，而一般沒特別指明的話，都是用FTM來計數。

1995年，美國玩家瑞德(MichaelRaid)證明了某些情況至少需要20步才能完成，他將這些情況稱做「Superflip」，同時，他也證明了可以在29步內完成所有的方塊(QTM為42步)，一口氣把上帝的數字範圍縮小到20~29之間。2006年，雷杜(SilviuRadu)用群論證明了上界可以再縮小到27步(QTM為34步)，他將所有的情況分成幾類，並借助離散代數系統(GAP)證明出在27步內都能完成。1990年，美國東北大學的電腦科學家古柏曼(GeneCooperman)等人，在一個談代數編碼的研討會上，發表了「2×2×2的方塊皆可在11步內(QTM為14步)完成」；2007年，古柏曼與他的學生庫柯爾(DanielKunkle)將這個方法推廣到3×3×3的方塊上，設計了一個平行演算法，用20台超級電腦花了8000個小時，證明出26步內可以完成。2008年，美國史丹佛大學的羅區奇(Tomas Rokicki)繼證明25步即可完成後，5月又在「魔方領域」(Domain of the CubeForum)論壇中宣稱可以證明出23步即可完成，震驚了整個魔方界，不過最後這個結果到目前還沒有正式的論文出來。

另一方面， 德國數學家柯西姆巴(Herbert Kociemba)設計了一個叫做 Cube Explorer的程式，可以幫你「盡量」找出最佳解，有時只比真的最佳解多一、兩步而已，他也用亂數產生了約1012種之多的情況，用Cube Explorer解開之後做了粗略的統計，約28%可以在17步內完成、69%可以18步完成、3%可以19步完成，並沒有跑出20步的情況，可見瑞德的Superflip情況其實很少見。

魔術方塊的研究由數學、資訊領域方面的學者共同努力，現在已將上帝的數字範圍縮小至20 ~25之間。電腦的速度越來越快，代數也持續不斷在發展，而3×3×3的方塊是不變的，相信「上帝的數字」很快就會被確定出來。

極速的世界競賽

第一屆世界魔術方塊大賽，是於1982年在魔術方塊的發源地匈牙利舉行(下圖為第一次世界大賽照片)，之後每兩年舉辦一次。至於一些小比賽幾手每個月都會有兩三場，有興趣可以參考世界魔方聯盟(WCA)的網站。

可能有的讀者會懷疑，魔術方塊的比賽，會不會有的人運氣比較好，拿到的方塊只要轉幾步就完成了，而運氣比較差的參賽者，拿到的方塊就比較亂呢？既然是世界級的賽事，當然會盡量減少「運氣」的成份。正式比賽時，會用電腦亂數產生一個25步的情況，然後會有專業的「轉亂手」，把大家的方塊轉成那樣，最後的成績會取五次比賽的平均秒數，有的比賽甚至會把最快與最慢的兩次拿掉。

第一屆世界冠軍的成績是22秒，由美國的賽伊(MinhThai)奪得，近年來公式不斷改進，加上網際網路的發達促成一些魔術方塊達人互相交流，荷蘭籍參賽者阿克斯戴克(ErikAkkersdijk)在今年7月12~13日的捷克公開賽中，以7.08秒刷新了世界紀錄。

除了最傳統3×3×3魔術方塊的項目之外，還有比賽單手、腳轉、盲解、最少步數解法。單手及腳轉，顧名思義就是只能用一隻手或雙腳獨碰來完成方塊；盲解的玩家必須先將手上的方塊背起來，然後再矇著眼來完成，時間則是背與解合起來計算；最少步數解是非常特別的比賽項目，參賽者在一個小時的時限內，必須絞盡腦汁找出最少步數的解法。而除了3×3×3的方塊，另外還有2×2×2、4×4×4、5×5×5、Megaminx、Pyraminx、Square-1、Rubik's Clock、Rubik's Magic等20餘種不同方塊的比賽。

魔術方塊的熱潮正持續發燒中，它是一門很新、也很大的學問。有的人致力於公式的開發整理，有的人喜歡追求速度，有的人偏愛學術上的研究，有的人則是喜好蒐集各種方塊。無論你是喜愛魔術方塊哪一塊領域，或單純只是空閒時轉一轉，建議可以多與其他魔術方塊愛好者接觸。目前台灣最大的魔術方塊討論區，位於批踢踢(PTT)的魔術方塊版(Rubiks)，版上每天都有不少討論的文章、心得分享及推文，並且幾乎每個週末在全台各地都有版友聚會，年齡從八、九歲到四、五十歲都有，也有爸媽帶著小孩一起參加的，大家互相交換心得，很容易就能感受到魔術方塊的樂趣。

上帝的數字 魔術方塊 科學證明20轉內破解

上帝的數字 魔術方塊迷聽到這個數字，肯定會不敢置信地大搖其頭。經過漫長計算，科學家發現，魔術方塊不管是哪一種排列組合，最多轉二十次就可以破解！

Google一名工程師與俄亥俄州肯特州立大學的數學家團隊，運用Google的超級電腦，計算出三階魔術方塊的變化多達43,252,003,274,489,856,000種，所有變化可在二十轉內破解完成，而大部分的組合，更可在十五到十九轉間順利破解。

改寫上帝的數字
長久以來，科學家認為，不管魔術方塊出現何種排列組合，一定可以在某個轉動次數內將其恢復原狀，他們把這個最低轉動次數稱為「上帝的數字」。一九九二年，某位科學家認為「上帝的數字」應該是四十二，二○○六年又有另一名科學家將數字縮小到二十七。

為找出「上帝的數字」，肯特州立大學戴維森教授團隊首先將魔術方塊所有可能的排列，歸納成每組底下各有一百九十五億種變化的二十二億種組合，再分別運用電腦運算，最後得出二十次「上帝的數字」。如果使用一般電腦，這樣的運算得花上三十五年，但在Google工程師達斯瑞吉的超級電腦協助下，團隊僅花了數週時間就完成所有演算。

魔術方塊是一九七四年匈牙利雕塑家兼建築教授魯比克所發明，一九八○年代曾是人手一個的熱門玩具，全球銷售量超過四億個。目前世界魔術方塊冠軍是十八歲的蘇格蘭少年瓦倫斯，平均破解紀錄為十．七四秒。